سایت مقالات فارسی – بررسی دینامیک درهم تنیدگی کیوبیت ها در محیط غیرمارکوفی۹۲- قسمت ۶

بسته به اینکه میدان اعداد حقیقی یا میدان اعداد مختلط باشد فضای برداری را فضای برداری حقیقی یا مختلط مینامند. به عنوان مثال یا مجموعهی تاییهای مرتب حقیقی و همچنین یا مجموعهی تاییهای مرتب مختلط تشکیل یک فضای برداری میدهند]۱۸[.
۲-۲-۲ ضرب داخلی و اندازه
در فضای برداری عمل دوتایی : را یک ضرب داخلی مینامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند،
فضای برداری که به یک ضرب داخلی مجهز شده باشد فضای برداری ضرب داخلی[۳۱] نامیده میشود. در هر فضای برداری ضرب داخلی، اندازهی یک بردار را به صورت،
،
تعریف میکنند]۱۸[.
۲-۲-۳ پایه
کمترین تعداد بردارهای راست هنجار مستقل خطی که میتوانند فضای برداری را پوشش دهند، بردارهای پایهی فضا نامیده میشوند . شرط راست هنجاری به معنی آن است که ، که دلتای کرونیکر است. هر بردار متعلق به فضای را میتوان بر حسب بردارهای پایه فضا به صورت زیر بسط داد،
که در آن ها به عنوان مثال بردارهای پایه راست هنجار در فضاهای برداری و به شکل زیر هستند،
۲-۲-۴ عملگر خطی
یک فضای برداری که دارای خاصیت کاملبودن، خطی و تجزیهپذیر است و ضرب داخلی در آن نسبت به عملهای جمع و ضرب بسته میباشد را فضای هیلبرت[۳۲] مینامند. برای توصیف سامانههای کوانتومی از فضای برداری هیلبرت استفاده میشود. حالت هر سامانهی کوانتومی را با یک بردار در فضای مذکور مشخص میکنند.
در فضای برداری نگاشت را یک عملگر خطی[۳۳] میگویند هرگاه دارای خاصیت زیر باشد،
.
یک عملگر خطی تنها با اثرش روی بردارهای پایه مشخص میشود،
ماتریس با درایههای را ماتریس مربوط به تبدیل خطی در پایهی مینامند و هرگاه پایه بهنجار باشد، میتوان نوشت]۱۸[،
۲-۲-۵ ویژه بردار و ویژه مقدار عملگر
برای هر عملگری مانند ویژه بردار عبارت است از یافتن بردارهای غیر صفری که تحت اثر این عملگر به مضربی از خود تبدیل شوند،
،
بردار غیر صفر خواهد بود هرگاه ماتریس وارونپذیر نباشد، برای این منظور لازم است که،
این معادله یک معادلهی درجهی است که در حوزهی اعداد مختلط حتماً جواب دارد که آنها را با نشان میدهیم. همهی ویژه مقادیر یک عملگر الزاماً از هم متفاوت نیستند، به این مسئله تبهگنی[۳۴] گفته میشود. هرگاه یک ویژه مقدار مانند، بار تکرار شود گوییم درجهی تبهگنی آن است. بردار مربوط به را که در معادلهی صدق میکند ویژه بردار مربوط به آن ویژه مقدار میگویند]۱۸[.
۲-۲-۶ عملگرهای هرمیتی
در یک فضای برداری، اگر عملگر، الحاقی[۳۵]باشد، آنگاه درصورتی عملگر هرمیتی نامیده میشود،
که،
یک عملگر هرمیتی دارای خواص زیر است،
۱) ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقیاند،
۲) ویژه بردارهای یک عملگر هرمیتی متناظر با ویژه مقادیر متفاوت، متعامدند]۱۸[.
۲-۳ پیکرنویسی دیراک
فضای برداری را که دارای بعد است و با پایه بهنجار توصیف میشود در نظر میگیریم. هر بردار بسطی از بردارهای پایه به شکل زیر است،
ضرب داخلی این بردار در خودش به صورت زیر نوشته میشود،
طبق پیکرنویسی دیراک میتوان به ازای هر چنین برداری یک بردار ستونی با نماد و یک بردار سطری با نماد به شکل زیر تعریف کرد،
در این پیکرنویسی بردار را کت[۳۶] و بردار را برا[۳۷] مینامند. ضرب این دو بردار درهم به صورت زیر خواهد بود،
در رابطهی بالا عبارت سمت راست یک ضرب داخلی است اما عبارت سمت چپ ضرب دو ماتریس است. مزیت پیکرنویسی دیراک این است که با استفاده از این پیکرنویسی انواع عملیاتی که روی بردارها انجام میدهیم به انجام عملیات روی ماتریسها تقلیل مییابند. بردارهای پایه نیز در پیکرنویسی دیراک دارای نمایش کت و برا به صورت زیر خواهند بود،
بنابراین از این پس با استفاده از این پیکرنویسی هر بردار را به شکل زیر خواهیم نوشت،
در این پیکرنویسی ضرب داخلی یک بردار کت مانند در یک بردار برا مانند به صورت زیر خواهد بود،
که در واقع همان ضرب داخلی دو بردار و است. میتوان یک بردار کت مانند را در یک بردار برا مانند به صورت زیر در هم ضرب کرد و یک ماتریس بدست آورد،
دو خاصیت مهم در رابطه با کتها و براها که به ترتیب خاصیتهای راست هنجاری[۳۸] و کامل بودن[۳۹] نامیده میشوند، عبارتند از،

این را هم حتما بخوانید :   علمی :عنوانموضوع ارزیابی کارآیی زنجیره ی تأمین با استفاده از روش تحلیل ...
دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است